и дерева, строительные умения и живопись). Далее Папп справедливо отмечает, что каждый желающий овладеть перечисленными техническими искусствами должен усвоить необходимые именно для него разделы математики, поскольку изучить всю геометрию и одновременно стать хорошим инженером не под силу ни одному человеку.
Изложение собственно механики начинается с учения о центре тяжести, который определяется как точка внутри тела, при мысленном подвешивании за которую это тело сохраняет свое положение. Далее по большей части повторяется текст Герона со ссылкой на несохранившуюся работу Архимеда «О равновесии». Общие метафизические определения понятий «тяжесть», «легкость», «верх» и «низ» не рассматриваются вовсе, а сообщается лишь, что обо всем этом можно прочитать у Птолемея. Весьма характерно, что Папп с одной стороны не считает необходимым касаться абстрактных философских вопросов, а с другой — отсылает всех интересующихся не к первоисточникам, но к трудам другого работавшего в Александрии энциклопедиста.
Наиболее же интересной и оригинальной у Паппа является задача о подъеме тела по наклонной плоскости. Рассмотрение этой проблемы у Герона выполнено совершенно неудовлетворительно безо всякого математического анализа, поэтому представляется особенно любопытным, насколько в этом вопросе продвинулись античные механики за последующие три века. Здесь нас сразу же ждет разочарование: по непонятной причине Папп полагает, что для движения по горизонтальной поверхности к телу необходимо приложить силу пропорциональную его весу и явно несводимую к трению. Это тем более удивительно, что ложность данного тезиса, как мы уже знаем, была убедительно обоснована еще Героном, у которого Папп кропотливо переписывал целые разделы. Сложно сказать, в чем тут причина: в недостаточном непонимании физического явления или же в использовании иного источника, но предлагаемое Паппом решение оказывается полностью ошибочным, хоть и выглядит достаточно наукообразно. Само рассуждение ведется (в современных обозначениях) следующим образом.
Пусть имеется некоторый вес M, который может быть движим по горизонтальной плоскости силой F. Также имеется подобная плоскость, наклоненная к горизонту под углом α. Необходимо определить, силу P, которая сможет поднять груз по наклонной плоскости.
Для дальнейших построений Папп заменяет тело аналогичным по весу шаром, центр которого O совпадает с центром тяжести исходного груза. Шар касается наклонной плоскости в точке K. Проведем перпендикуляр KO, затем — горизонтальный отрезок OJ и вертикальный отрезок KH. Легко доказать, что все прямоугольные треугольники на чертеже подобны, и, поскольку нам известен угол α и радиус шара KO, то мы знаем и все остальные стороны. Далее предполагается безо всяких доказательств, что если шар находится в равновесии на наклонной плоскости, то его можно полагать уравновешенным на рычаге OJ с точкой опоры H (это просто-напросто неверно). Из закона рычага следует, что на J необходимо разместить груз M1 равный
Постулируется, что дополнительная сила N, эквивалентная грузу M1 (то есть отвечающая за удержание тела на наклонной плоскости), пропорциональна весу этого груза и потому имеем также
Тогда для движения по наклонной плоскости необходима итоговая сила
Очевидно, Папп полагает, что сила P складывается из части, которая отвечает за само движение по плоскости (компонент F), и части, которая позволяет удержать тело на наклонной плоскости (компонент N).
Как легко убедиться, приведенное выше соотношение противоречит и опыту и здравому смыслу. В самом деле, при α = 0° получаем OH = 0 и HJ = ∞, откуда P = F, что соответствует начальным условиям. Однако для α = 90° (фактически это просто вертикальный подъем тела вдоль стены) получим OH = OK и HJ = 0, поэтому сила P окажется бесконечно большой, что абсурдно, ведь очевидно, что в данном случае необходима сила равная весу груза M (данная величина вообще не присутствует в приведенном выражении). Фактически, рассмотренное доказательство пытается лишь внешне уподобиться стилю Архимеда, тогда как на самом деле не поддается даже элементарной проверке.
Классическое решение рассматриваемой задачи выглядит так (не будем рассматривать трение качения, ограничившись случаем скольжения тела по поверхности, о котором на самом деле и говорит Папп). Для движения по горизонтальной плоскости к телу массой M (напомним, что греки не различали массу тела и его вес) необходимо приложить силу
где μ — коэффициент трения скольжения.
Если то же самое тело необходимо поднять по плоскости, наклоненной к горизонту на угол α, то в этом случае требуется сила
Здесь первое слагаемое отвечает за сопротивление трению, а второе — за ту часть веса тела, которую требуется поднимать вверх. Очевидно, что по мере роста угла α влияние трения уменьшается, а часть поднимаемого веса увеличивается.
Формулу Паппа, напротив, можно после несложных тригонометрических преобразований записана как
причем использование коэффициента трения представляется не совсем правомерным, ибо сила F напрямую с трением не связывалась.
Закончив разбирать задачу равновесия тела на наклонной плоскости, Папп описывает далее подъемный механизм, состоящий из множества осей с насаженными на них шестернями различных диаметров. Даются соотношения для расчета такого рода передач, после чего следует числовой пример. Чуть дальше показывается, что скорости сцепленных шестерней находятся в прямой пропорции с числом их зубьев, а также решается задача о подборе диаметра шестерни под требуемую передачу. Затем следует описание и способы изготовления червячного зацепления.
Таково в общих словах содержание механической составляющей «Математического собрания» Паппа Александрийского, который уже не имел ни стройной философской системы, подобно Аристотелю, ни страсти к математической и физической строгости, как у Архимеда, ни даже живого технического интереса, который столь явственно читается у Витрувия и Герона. Цель Паппа — собрать и спасти (а также дополнить в меру собственных сил) наиболее ценные научные результаты античного мира, закат которого едва ли осознавался, но, несомненно, предчувствовался всеми думающими людьми.
Почему греки не смогли создать теоретическую механику
Механическое мышление античности неизменно следовало за эволюцией общества, как в зеркале отражая все его особенности. Уже древние философы пытались свести немногие знания, полученные из наблюдений за простейшими и примитивными приспособлениями, в единую космологическую систему. Постепенно на базе рабовладельческого общества складываются чисто спекулятивные теоретические концепции, в которых учения о механизмах играют далеко не главную, а скорее подчиненную роль. В эпоху наивысшего расцвета (и заката) Эллады создаются канонические работы Аристотеля, которые на века и даже тысячелетия закрепляют этот констатирующий взгляд на механику (и науку в целом). Представитель рабовладельческой верхушки, убежденный, что единственным
