ссылается на рассуждения Эратосфена и Посидония на эту тему (Посидоний был чрезвычайно влиятельным астрологом и философом-стоиком; он родился около 135 г. до н. э.).
То, что Птолемей не упоминает об этих более ранних авторитетных источниках, заслуживает особого внимания, поскольку близкий современник Птолемея Клеомед рассказывает об измерениях, произведенных Эратосфеном, и в той же работе пишет о рефракции световых лучей, проходящих через земную атмосферу. Похоже, Птолемей просто не знал об этом авторе. Клеомед, как обычно полагают, первооткрыватель атмосферной рефракции – явления, имеющего огромное значение в астрономии. В своем «Альмагесте» Птолемей рассматривает рефракцию только в связи с размерами небесных тел при их наблюдении вблизи горизонта. В «Оптике» он подробно разбирает теоретические аспекты атмосферной рефракции, но это была его поздняя работа.
Затем следует математическое введение с изложением теоремы Менелая и таблицей хорд со значениями до трех значащих цифр в шестидесятеричной системе, а также другими разделами, которые мы сегодня отнесли бы к категории «тригонометрических». Его таблица, составленная с интервалом в половину градуса, базируется на значении хорды, соответствующей 1°, точно определенном им методом последовательных приближений. Вскоре после этого, в первой и второй книгах «Альмагеста», он на практике демонстрирует применимость перечисленных им математических методов к решению астрономических задач, и одним из вопросов, регулярно возникающим как в первых, так и во всех следующих книгах, является расчет угла наклона эклиптики к небесному экватору.
Используя крайние отклонения Солнца, он нашел, что значение этого фундаментального параметра должно лежать в интервале между 23;50° и 23;52,20°. В итоге он остановился на величине 23;51,20°, попадающей в этот диапазон, но не являющейся точной. (Точнее было бы 23;40,42°.) Он, как полагают некоторые, выбрал это значение, поскольку Гиппарх (и даже Эратосфен) считали его правильным. Удивительно, если бы Эратосфен сумел определить это значение точнее, чем 24°. Инструменты Птолемея были несовершенны, и, вероятно, он примерно догадывался насколько. Есть один очень важный вопрос – мог ли он допустить, чтобы восхищение, выказываемое им в отношении Гиппарха, поколебало его собственное суждение или же поставило под сомнение показания его инструментов. Однако мы не располагаем никакими данными о том, каково было мнение самого Гиппарха по поводу этой величины.
В третьей книге «Альмагеста» Птолемей признает справедливость солнечной теории Гиппарха. Он сравнил данные собственных наблюдений равноденствий с полученными Гиппархом; кроме того, он сравнил наблюдения солнцестояний с аналогичными наблюдениями, проведенными Метоном и Евктемоном в 432 г. до н. э., то есть примерно шестью столетиями ранее. При этом он ошибся в календарных расчетах примерно на одни сутки, но даже этого оказалось достаточно, чтобы он, отбросив собственное неверное значение, полученное им для тропического года, еще раз убедился в правоте Гиппарха и принял его значение – 365¼ суток за вычетом 1/300. Это оказалось больше истинного значения на шесть временны́х минут (на деле – 6;26 минут), однако теория позволяла достаточно хорошо рассчитывать большинство солнечных явлений, и вряд ли он помышлял о том, чтобы каким-либо образом поменять ее. Начиная с IX в. мусульманские астрономы стали предпринимать попытки уточнения этой величины, несколько таких попыток было сделано в средневековой Европе, все полученные значения оказались более или менее близки к истинному. Можно только сожалеть о том, что значение, полученное Птолемеем для солнечного движения, неразрывно связано с параметрами лунного и планетного движений, равно как и с параметрами прецессионного движения звезд. Указанная взаимозависимость параметров всегда оказывалась серьезной проблемой для астрономов, которые не обладали редкой привилегией начинать все с чистого листа и были вынуждены опираться на данные, полученные в предыдущие исторические периоды.
ДВИЖЕНИЕ СОЛНЦА ПО ПТОЛЕМЕЮ
Птолемей прилагает таблицы, позволяющие быстро вычислять два угла, необходимые для нахождения положения Солнца. Использованные им методы были впоследствии распространены на более сложное движение планет и предвосхитили появление идеи создания общей теории небесного движения. Для Солнца требуется знать два исходных параметра, а третий мы введем чуть позже. В простейшей эксцентрической модели (не будем забывать, что она эквивалентна эпициклической) этими параметрами являются: 1) среднее движение Солнца по кругу деферента, то есть вокруг его центра; и 2) эксцентриситет OT в долях отрезка OS, как показано на ил. 60. Нам необходимо получить угол ATS. Здесь O – центр деферента, а T – место наблюдателя на поверхности Земли, а ее размерами, как предполагается, можно пренебречь. Угол ATS получается как разность среднего движения (угол AOS) и угла OST. Угол AOS (среднее движение), очевидно, можно представить в виде табличной величины, зависящей от времени, измеряемого, например, в сутках или часах, или одновременно и в часах, и в сутках, поскольку оно течет равномерно. С помощью тригонометрических преобразований угол OST может быть довольно легко представлен в виде функции, зависящей от среднего движения и эксцентриситета. (Птолемей называл этот угол простафарезис – «угол, который должен быть прибавлен, либо вычтен»; мы же будем называть его уравнением или аномалией. Смысл заключается в том, что он позволяет внести поправку для среднего положения и получить из него истинное, где под «истинным» понимается видимое нами на самом деле.) Таким образом, Птолемей составил таблицу, позволяющую совершить быстрый переход к истинному положению, исходя из среднего движения, которое, в свою очередь, определялось из первой таблицы.
60
Модель движения Солнца, в которой используется простой эксцентрический круг. Предполагается, что Солнце движется по нему с постоянной скоростью (то есть угловая скорость вращения Солнца вокруг центра круга не меняется).
Здесь, вероятно, нужно особо подчеркнуть: когда античные астрономы говорили о «среднем движении», они имели в виду угол, например угол перемещения за сутки или за час. Они могли также соотносить его с углом, накапливающимся в течение долгого периода времени, или с положением, достигаемым в результате этого движения. Конечно, мы тоже можем характеризовать угол, покрываемый за данную единицу времени, как движение, но они рассматривали этот вопрос иначе, чем мы, и у них не было нашего представления о мгновенной скорости.
Остается ввести еще один параметр, если, конечно, Птолемей действительно желал снабдить нас средством, позволяющим определять точное положение Солнца. Нужно знать день, когда оно проходит через некоторую исходную точку – апогей или перигей; или же, как вариант, можно использовать его положение в любой другой заданный день. Птолемей выбрал в качестве начала отсчета эпохальную дату – день, когда царем Вавилонии стал Набонасар. Это случилось 26 февраля 747 г. до н. э. Можно по-разному относиться к выбору столь ранней даты; в частности, это означало то, что ему не нужно было вводить обратный отсчет лет, то есть отрицательные годы.
Если бы Птолемей обладал более точными данными, он мог бы ввести еще один параметр, учитывающий движение линии симметрии AB. (Это – линия апсид, соединяющая апогей с перигеем.) Он был искренне убежден в равенстве продолжительности сезонов в его эпоху и во времена Гиппарха, и поэтому полагал, что линия апсид неподвижна.
С присущей ему проницательностью он не упустил то, что мы называем уравнением времени. В течение большей части истории ежедневное движение Солнца по небу использовалось для измерения коротких интервалов времени. Однако это движение является нерегулярным в силу двух причин. Существует годовое изменение скорости движения Солнца по эклиптике, объясняемое с помощью эксцентрической модели; однако неравномерность движения вокруг полюсов (движения, измеряемого относительно экватора) вызывается иной причиной – Солнце движется в плоскости (плоскости эклиптики), которая наклонена к экватору под углом более 23°. Птолемей разъяснил, каким образом можно компенсировать оба эти фактора. По сей день лучшие
