Форма входа
Читем онлайн Введение в теорию риска (динамических систем) - Владимир Живетин
Шрифт:
-
+
Интервал:
-
+
Закладка:
Сделать
Вероятность Р3 характеризует такое состояние, при котором превышение х значения хкр не фиксируется в процессе контроля или оценки параметра х. Эту вероятность назовем вероятностью опасной ситуации, а P (Aγ | В'α) = Р'3 – условной вероятностью опасной ситуации. Вероятности Р2 и Р3 включают Р'2, Р'3, которые не зависят от характеристик средств оценки или контроля и поэтому при анализе и синтезе системы контроля могут не рассматриваться. Однако это необходимо учитывать при назначении допустимых значений Р2, Р3, Р'2, Р'3. При этом Р2 и Р3 отличаются от Р'2, Р'3 на постоянные величины.
Запишем вероятности Р2 и Р3 в явном виде и выразим их через xн, xв, , и плотности распределения вероятностей случайных величин α и γ. Вероятность
Воспользуемся дистрибутивными свойствами символов ∩ и . Обозначим
Тогда для Р2 имеем:
Рассмотрим каждое из пересечений отдельно. Рассмотрим область на плоскости:
Так как α и β – случайные независимые величины, то область их значений можно изобразить так. Обозначая реализацию α через x, а реализацию β – через y, получим ситуацию, изображенную на рис. 1.42 в виде области G1. Аналогично рис. 1.43–1.47:
Рис. 1.42
Рис. 1.43
Рис. 1.44
Рис. 1.45
Рис. 1.46
Рис. 1.47
Используя равенства (1.6), несовместность α и β, независимость А, В, С и несовместимость D, K, получим
где
φα(x) – плотность вероятностей случайной величины α, φβ(y) – плотность вероятностей случайной величины β;
Таким образом, Р2 есть сумма двух вероятностей, одна из которых обусловлена событиями D, вторая – событиями K. Отметим, что полученное выражение справедливо для двустороннего ограничения индикатора х, подлежащего контролю и ограничению, когда измеренная величина хизм, с учетом погрешностей δх, удовлетворяет D или K.
Окончательно,
Из теории вероятностей известно, что
где Fβ(x) – функция распределения случайной величины β; Rβ(x) – дополнительная функция распределения случайной величины β. Тогда формулу (1.7) можно переписать в следующем виде:
Перейдем к вычислению вероятности P3:
Таким образом,
Если параметры подчинены односторонним ограничениям, то, согласно формулам (1.8) и (1.9), вероятности событий (Aα ∩ Bγ) и (Aγ ∩ B'α) вычисляются следующим образом. В случае одностороннего ограничения сверху можно считать, что xн и → ∞, тогда Fβ(–∞) = 0:
В случае одностороннего ограничения снизу можно считать, что xв, → +∞, и тогда
Аналогично, если xн, → +∞, то
Если xв, → +∞, то
Часто при практических расчетах удобно использовать не φα(x), а , где Δх = хф – хн. В этом случае для индикатора, подлежащего ограничению снизу, получаем:
где W(t, Δx, δx) – совместная плотность распределения случайных процессов Δx, δx в момент времени t; xn = xкдоп.
Вид подынтегральной функции выражений (1.11), (1.12) либо (1.13), (1.14) и основные факторы, подлежащие учету при ее формировании, определяются объектами или подсистемами анализируемой системы и их режимом работы, а также множеством других параметров и факторов. При этом погрешность δx, как правило, не оказывает влияния на величину отклонения от номинального режима Δx. Это обстоятельство есть допущение, которое каждый раз необходимо проверять.
С учетом сказанного выше, при практических расчетах вероятностей Pi зависимостью между погрешностями измерения δx и величинами отклонения параметров Δx от номинального режима можно пренебречь. В результате
где Δ = xдоп – xн; Δ1 = xn – xн – Δx.
На рис. 1.48 представлена геометрическая интерпретация событий, соответствующих вероятностям P2 и P3, определяемым в случае, когда ограничение сверху.
Рис. 1.48
Из последних соотношений следует, что вероятности Р3 и Р2 зависят от плотностей распределения W1(Δx) отклонений x от номинальных значений xн, пороговых xn и допустимых xдоп значений параметров, плотности распределения суммарной погрешности W2(δx). В случае одностороннего ограничения Р3 представляет вероятность попадания точки (Δx, δx) в область G1, ограниченную прямыми Δx = а = xдоп – xн и δx = xn – xн – Δx (рис. 1.49). Величина δx изменяется от –∞ до b = xn – xн. Вероятность попадания точки (Δx, δx) в область G2 представляет собой Р2.
Случай двустороннего ограничения параметров представлен на рис. 1.50. При этом Р3 представляет вероятность попадания точки с координатами (Δx, δx) в области G1 и G3 одновременно, а вероятность Р2 – попадание (Δx, δx) в области G2, G4 одновременно.
Если Р3 и Р2 удовлетворяют допустимым или нормативным значениям Рдоп, то система способна выполнять поставленную перед ней цель. Если, например, Р3 > Р3доп, то необходимо принимать решение об изменении, в том числе уменьшении границ пороговых значений xn.
Рис. 1.49
Рис. 1.50
Выводы
Полученные вероятностные показатели рисков и безопасности динамических систем могут быть применены в практической деятельности человека, если мы сможем установить области допустимых состояний изучаемой динамической системы и построить плотности вероятности случайных процессов, подлежащих контролю и ограничению.
Проблемы решения обусловлены:
1) принадлежностью любой динамической системы к иерархии динамических систем бытия, что обусловливает особенности анализа;
2) тем, что в общем случае динамическая система обладает структурно-функциональными свойствами, которые в процессе функционирования динамической системы подвержены как эволюции, так и инволюции;
3) наличием взаимосвязи динамических систем, направленных на достижение единой цели в общем случае на иерархическом уровне.
Теоретические основы оценки потерь и соответствующих рисков динамической системы связаны с разработкой математических моделей, направленных на нахождение методов и средств нейтрализации потерь, например путем построения областей допустимых состояний Ωдоп и построения таких управлений, при которых динамический объект не покидает Ωдоп.
На этой странице вы можете бесплатно читать книгу Введение в теорию риска (динамических систем) - Владимир Живетин бесплатно.
Похожие на Введение в теорию риска (динамических систем) - Владимир Живетин книги
- Математика для любознательных - Яков Перельман - Математика
- Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика - Хавьер Арбонес - Математика
- Популярно о конечной математике и ее интересных применениях в квантовой теории - Феликс Лев - Математика / Физика
- Криптография и свобода - Михаил Масленников - Математика
- Вероятность как форма научного мышления - Виктор Лёвин - Математика
- φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания - Марио Ливио - Математика
- Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике - Альберт Виолант-и-Хольц - Математика
- Древние мифы и физика. Алгебра, логика и физика о реальности времени - Александр Мальцев - Математика
- Сферландия - Дионис Бюргер - Математика
- Русско-Ордынская империя - Анатолий Фоменко - Математика
