Ниже мы воспользуемся параболической моделью для более детального изучения понятий и примеров, рассмотренных в главе 11. Поскольку это всего лишь модель, конкретные числа, получаемые в ходе расчетов, не так уж важны. Поэтому незначительные отличия в числах не будут рассматриваться как что-то значимое. Стратегия, дающая несколько большие потери, чем другая стратегия в предположении применимости этой модели, при замене этой модели на другую может оказаться более предпочтительной для функции потерь. Но когда мы обнаруживаем различия на целые порядки (например, когда потери от одной стратегии в 10, 50 или даже 100 раз превышают потери от другой), мы можем с полной уверенностью сказать, что различия в стратегиях весьма значительны, даже с учетом того, что параболическая модель – всего лишь идеализация.
В качестве дальнейшей идеализации, которая нужна для проведения численных сравнений в данной главе, мы вынуждены предположить, что рассматриваемые здесь процессы будут абсолютно стабильными. Приведенный в главе 4 термин «абсолютно стабильный» предполагает, что статистическое распределение процесса неизменно, не колеблется. В частности, это означает, что мы можем говорить в терминах истинных значений для среднего и стандартного отклонения, которые мы обозначим (но только в данной главе) символами μ и σ соответственно. (Хотя это противоречит важному замечанию Деминга касательно реальных процессов; см.: «Выход из кризиса», стр. 293.)
Далее мы будем использовать понятие средних потерь Тагути. Средние потери Тагути, применительно к выборке или партии из n изделий, для которых значения х1, х2…, хn рассматриваемого показателя качества х равны:
Если процесс абсолютно стабилен и имеет плотность распределения вероятности, тогда средние потери Тагути можно вычислить из:
что соответствует площади под кривой, задаваемой произведением функции потерь L(x) на плотность вероятности f(x). Некоторые очевидные математические преобразования позволяют привести это выражение к виду:
где члены внутри фигурных скобок ({…}) представляют соответственно квадратичное (стандартное) отклонение (обычно связанное с дисперсией) и квадрат смещения. Следует заметить, что средние потери Тагути не зависят каким-то сложным образом от f(x); их можно весьма просто вычислить, если известны простые параметры, входящие в последнее выражение[54].
Чтобы облегчить сравнения, давайте также введем обозначение для воспроизводимости процесса. В разных компаниях она определяется различным образом, но мы будем полагать ее равной разности между верхней и нижней границами допуска деленной на разность между верхней и нижней естественными пределами процесса, где для естественных пределов процесса мы используем «истинные» границы 3σ для индивидуальных наблюдений, так что знаменатель можно представить просто как 6σ[55].
Воспроизводимость, равная 1 (единичная воспроизводимость), соответствует процессу, который в большинстве случаев едва укладывается в границы допусков[56]. Процесс иногда называют воспроизводимым или невоспроизводимым в зависимости от того, превосходит ли показатель воспроизводимости единицу или нет. Обычный образ мыслей на Западе – признание значения 1 1/3 как соответствующего исключительно эффективному процессу, а значения 1 2/3 – уже, возможно, слишком экстравагантным, поскольку вероятность получения в этом случае измерения за пределами допусков оказывается пренебрежимо малой[57]. Однако заметим, что данные о процессах из японской практики, упоминаемые в главе 11, позволяют оценить их уровень воспроизводимости от 3 до 5. И чтобы мера воспроизводимости отражала то, что процесс может давать на самом деле (а не то, на что он потенциально способен), надо предположить, что процесс точно настроен (центрирован), т. е. среднее процесса совпадает с номинальным значением х0. Ниже мы рассмотрим, что происходит, если это предположение не выполняется.
Мы должны выбрать значение масштабного коэффициента с в уравнении для параболы таким образом, чтобы процесс, имеющий воспроизводимость 1 и точно центрированный, имел бы средние потери Тагути, равные 100 единицам. Вначале рассмотрим значения средних потерь Тагути для абсолютно стабильного процесса, точно настроенного на номинальное значение ху, но в предположении различной воспроизводимости процесса.
Мы видим, что повышение воспроизводимости от 1 1/3 до 1 2/3 уменьшает средние потери Тагути от половины до трети их значения по сравнению с потерями, соответствующими единичной воспроизводимости. Однако повышение воспроизводимости до 3–5 дает огромный эффект, описываемый в терминах порядков величин, как мы говорили об этом ранее. Графики средних потерь Тагути, в зависимости от воспроизводимости процессов, для всех примеров, рассматриваемых в данной главе, показаны на рисунке 41.
Важность точной настройки (центрирования) процесса можно быстро оценить, сравнивая данные таблиц 1 и 2. Данные таблицы 2 рассчитаны в предположении, что процесс неточно настроен и центрирован в середине диапазона между номиналом и одним из пределов допуска.
Плохая настройка процесса полностью разрушает все потенциальные преимущества улучшения воспроизводимости. Однако даже при такой плохой настройке процесс, имеющий воспроизводимость 2 и выше, практически не будет давать изделий, выходящих за границы допусков. Поэтому, хотя такой процесс рассматривался бы как безусловно выдающийся с точки зрения удовлетворения заданных допусков, – рассмотренный с позиций функции потерь Тагути он, безусловно, намного хуже, чем точно настроенный процесс; например, для эффективности, равной 2, потери в таблице 2 в десять раз превышают потери, приводимые в таблице 1.
Теперь мы рассмотрим два примера, описанные в конце предшествующей главы. Сначала обратимся к проблеме износа инструмента. Припомним детали: первоначально процесс настроен так, чтобы результаты измерений были близки к верхней границе допуска (ВГД). Затем износ инструмента будет приводить к постепенному уменьшению значений; когда результаты начинают приближаться к нижней границе допуска (НГД), процесс останавливается и инструмент заменяется. Отметим, что воспроизводимость рассматриваемого процесса (без учета его дрейфа) должна быть больше 1, чтобы такую схему вообще можно было реализовать, иначе возможность для маневрирования просто отсутствовала бы. Для полноты картины ниже мы рассмотрели также случай, соответствующий единичной воспроизводимости.
